1. Sólo es posible sumar, restar o igualar cantidades si las unidades de dichas cantidades son las
mismas.
2. Podemos multiplicar o dividir unidades distintas a voluntad, pero no podemos cancelar ni
combinar unidades si no son idénticas.
La Tabla 2.4 es una lista de las unidades del sistema internacional. Es preciso respetar la distinción
entre letras mayúsculas y minúsculas, incluso cuando el símbolo aparece en las aplicaciones en
las que el resto de las letras son mayúsculas. Las abreviaturas de las unidades tienen la misma
forma en singular y en plural, y no van seguidas de un punto. Una de las características más
valiosas del SI es que (con la excepción del tiempo) las unidades y sus múltiplos y submúltiplos se
relacionan mediante factores estándar designados por el prefijo indicado en la Tabla 2.5. Es
preferible no usar prefijos en denominadores (excepto kg).
Tabla 1-4 Unidades del Sistema Internacional.
Cuando se forma una unidad compuesta multiplicando dos o más unidades, su símbolo consiste en
los símbolos de las unidades individuales unidos por un punto centrado (por ejemplo N·m para
Newton por metro). El punto puede omitirse en el caso de unidades muy conocidas como watt-hora
? p ? 2 ??v ?b?? RT
(símbolo Wh) si no causa confusión, o si los símbolos están separados por exponentes, como
2 -2
exponentes positivos y negativos para los símbolos de las unidades individuales, ya sea separados
-1
metros por segundo). No obstante, conviene no utilizar el punto central para indicar multiplicación.
Es muy fácil confundir el punto centrado con el punto ortográfico, o pasarlo por alto en los cálculos
manuscritos. En vez de ello, es mejor usar paréntesis o líneas verticales para multiplicación y
división. La coma y el punto se utilizan para decimales. El espacio entre grupos de tres números
como 12 635 es la convención dictada por el SI para números grandes.
Tabla 1-5 Prefijos del SI.
1.2.1 Consistencia dimensional
Un principio básico es que las ecuaciones deben ser dimensionalmente consistentes. Lo que exige
este principio es que cada uno de los términos de una ecuación tenga las mismas dimensiones y
unidades netas que todos los demás términos con los que se suma resta o iguala. En
consecuencia, las consideraciones dimensionales pueden ayudar a identificar las dimensiones y
unidades de los términos de una ecuación.
El concepto de consistencia dimensional se puede ilustrar con una ecuación que representa el
comportamiento de los gases, conocida como la ecuación de Van Der Waals:
? a ?
? v ?
Ec. 1-9
donde p es presión, v es volumen molar, R es la constante de los gases ideales, T es temperatura,
a y b son constantes. Si examinamos la ecuación veremos que la constante a debe tener unidades
2
3
6
3
3
Es posible formar grupos de símbolos ya sea teóricamente o con base en experimentos, que no
tienen unidades netas. Tales conjuntos de variables o parámetros se denominan grupos
adimensionales. Un ejemplo es el número de Reynolds:
Re ? Ec. 1-10
3
y ? es la viscosidad en P (1 P equivale a 1 g/(cm·s)). Si observamos las unidades de las variables,
notamos que el número de Reynolds es adimensional.
1.2.2 Cifras significativas, exactitud y precisión
Es de esperar que las mediciones hechas por instrumentos de proceso presenten cierto error
aleatorio y además es posible que tengan cierto sesgo. La exactitud de los resultados de un cálculo
depende de la aplicación que se piensa dar a dichos resultados. En los cálculos en ingeniería, si
los costos de la inexactitud son considerables (ahorro, fracaso, incendio, tiempo de inactividad,
etc.) resulta vital conocer el grado de incertidumbre de las variables calculadas.
Hay varias opciones (además del sentido común) para establecer el grado de incertidumbre que
deben tener los cálculos, entre ellos: error absoluto, error relativo y análisis estadístico. Debemos
recordar que el resultado de un cálculo se debe reportar con el número de cifras significativas igual
al número de cifras significativas del dato menos confiable, en otras palabras, del dato que tenga
menos cifras significativas. Para evitar confusiones, lo mejor es utilizar notación científica, con al
menos tres decimales.
1.3Variables de proceso
Los procesos industriales deben ser cuantificados. Esto permite definir clasificaciones más
objetivas de las industrias. Para todos es claro el concepto de pequeñas medianas y grandes
empresas, las cuales definen el sector productivo del país e influyen directamente en la economía.
Debe quedar claro que las diferentes actividades a desarrollar por el personal de procesos
(ingenieros, tecnólogos, analistas, obreros) sustentan su eficiencia en la adecuada y precisa
cuantificación de las diferentes unidades y equipos con que se trabaja. Las labores de diseño,
supervisión, control y modificaciones de procesos requieren que el personal conozca las
cantidades, condiciones y composiciones de los diferentes flujos comprometidos con cada equipo.
Sólo de esta manera se podrán realizar las funciones pertinentes para asegurar que el proceso en
todo momento se lleve a cabo de la manera más eficiente y óptima posible.
Una actividad fundamental en el análisis y manejo de procesos la constituye el cálculo y correlación
de las magnitudes de los flujos entrantes y salientes de un sector de la industria o de toda en
general. A esta actividad le vamos a dedicar el capítulo 4. A continuación se presenta un grupo de
variables que conforma lo que se denomina las condiciones más importantes de operación de las
diferentes unidades de proceso. Debido a la gran variedad de sistemas de unidades empleados en
la industria, es conveniente manejar también las unidades del sistema que anteriormente se
conocía como sistema de ingeniería. También se debe estar atento porque hay variables en
muchos procesos con sistemas de medición muy particulares.
1.3.1 Temperatura
La temperatura de un cuerpo se puede definir como una medida de su estado térmico considerado
como su capacidad para transferir calor a otros cuerpos. El estado térmico puede medirse con una
amplia gama de instrumentos, como termómetros de radiación, pirómetros ópticos, termopares,
termometría de resistencia de platino, termometría de resistencia de termistor, sistemas
empacados como los termómetros de vidrio, termómetros bimetálicos, etc. La temperatura que
marcan los instrumentos en la industria está en grados Celsius. También es frecuente encontrar la
temperatura en grados Fahrenheit; no obstante, las unidades que se deben manejar en ciencias e
ingeniería son las estandarizadas y dictadas por el Sistema Internacional; pero, los equipos
antiguos manejan el sistema inglés (antes conocido como el sistema de ingeniería), por tal razón
es importante manipular también unidades de este sistema. Ambas escalas son relativas. Las
escalas absolutas correspondientes a ambas escalas son la escala Kelvin y la escala Rankine
definidas a partir del cero absoluto de temperatura propuesto a partir de la tercera ley e la
termodinámica. La escala absoluta se divide de grado del mismo tamaño que la escala relativa. La
Figura siguiente muestra las equivalencias entre las escalas.
En la Figura 2.4 se observa que las unidades de grado en la escala Fahrenheit – Rankine son más
pequeñas que las unidades de grado en la escala Celsius – Kelvin. Así, se tienen los siguientes
180
100
Fahrenheit
Rankine
Celsius
Kelvin
mol?C 1055
*
1 lbmol 1.8 R
factores de conversión para las diferencias de temperatura. Estos factores de conversión se utilizan
cuando se tienen unidades de temperatura en el denominador de una dimensión.
??C ?1.8*??F , ?K ?1.8*?R, ?K ? ??C , ?R ? ??F
Las ecuaciones que relacionan las escalas de temperatura son:
T(?F) ?1.8*T(?C)?32
T(R) ?1.8*T(K)
Figura 1.4 Escalas de temperatura.
Ejemplo 3. La capacidad calorífica del ácido sulfúrico dada en un manual está representada por:
CP ?139.1?1.56*10?1T ,
donde T está en °C y cP en J/(mol°C). Modifique la fórmula de tal
manera que la temperatura esté en R y cP en BTU/(lbmolR).
Solución:
Se pueden transformar las constantes mediante,
2
2
*
1
1055
*
*
*
139.1
1.56*10?1
? 2.07*10?2
? 23.06
454 mol 1?C 2
2
BTU
J
J
mol?C
454 mol 1?C
*
1 lbmol 1.8R
BTU
J
J 1
Así, se obtiene
CP ? 2306?2.07*10?2T
1.3.2 Presión
La presión se define como fuerza normal por unidad de área. Es una variable importante porque
define la resistencia mecánica que deben tener los recipientes, las tuberías y los accesorios por los
que se van a desplazar los materiales.
La Figura 2.5 muestra la presión ejercida sobre una superficie interior en el fondo de una columna
estática (sin movimiento) de un fluido, la cual se calcula mediante:
Cero absoluto
0
-273.15
0
-459.67
°C = °F
Congelación del agua
Ebullición del agua a 760 mmHg
-40
-40
233.15
419.67
0
273.15
491.67
32
100
373.15
671.67
212
P ? P 0 ? ?gh
Ec. 1-11
TANQUE DE CO2
donde P0 es la presión en la parte superior de la columna de fluido, generalmente la presión debida
al aire de la atmósfera. P es la presión en el fondo, ? es la densidad del fluido, g es la gravedad y h
es la altura de la columna de fluido. Las alturas de columnas de fluido generalmente se les conoce
como cabezas de líquido.
P0
h
P
Figura 1.5 Presión hidrostática.
Las presiones al igual que las temperaturas, se pueden expresar en escalas tanto absolutas como
relativas. El hecho de que un dispositivo para medir la presión mida la presión absoluta o la relativa
depende de la naturaleza del instrumento medidor. Por ejemplo, un manómetro de extremo abierto
mediría una presión relativa, que se conoce como presión manométrica, ya que la referencia es la
presión de la atmósfera sobre el extremo abierto del manómetro. Por otro lado, si cerramos el
extremo del manómetro y creamos un vacío en el extremo estaremos midiendo contra un vacío
perfecto, o contra la ausencia de presión, así P0 será cero. Esta medición se denomina presión
absoluta. Como se muestra en la Figura siguiente.
Vacío
785.3 mm Hg
Hg
a. De presión absoluta.
TANQUE DE CO2
15.3 mm Hg
Hg
b. De extremo abierto.
Figura 1.6 Manómetros
Aire a 760 mmHg
Figura 1.7 El barómetro.
T
Otro tipo de dispositivo medidor de presión es el manómetro de Bourdon visual que normalmente
indica una presión de cero cuando está abierto a la atmósfera. El elemento sensor del manómetro
de Bourdon es un tubo metálico delgado con sección transversal elíptica cerrado en un extremo y
doblado para formar un arco. Conforme se incrementa la presión en el extremo abierto del tubo,
este trata de enderezarse, y su movimiento se convierte por medio de engranes y palancas en el
movimiento de un puntero sobre una carátula.
Otro término que se aplica al medir la presión es el vacío. De hecho, cuando medimos la presión
como pulgadas de mercurio de vacío invertimos la dirección de medición acostumbrada y medimos
desde la presión barométrica hasta la presión absoluta cero, en cuyo caso un perfecto vacío sería
la medida más alta de vacío que pudiera obtenerse. El sistema de medición de la presión de vacío
se usa comúnmente en los equipos que trabajan a presiones menores que la atmosférica, como
evaporadores y filtros al vacío. Las presiones que sólo están un poco por debajo de la presión
barométrica a veces pueden expresarse como una succión en pulgadas de agua; por ejemplo, el
suministro de aire a un horno o a una torre de enfriamiento por agua.
Siempre debemos tener presente que el punto de referencia o punto cero de las escalas de presión
relativa no es constante. La presión absoluta o total cumple la siguiente expresión:
P ? P man ? P bar Ec. 1-12
donde PT es la presión total, Pbar es la presión barométrica y Pman es la presión manométrica.
Observemos la Figura siguiente
?h
P0
P0
Como la presión absoluta se basa en un vacío perfecto, es decir un punto de referencia que no
cambia con el lugar, la temperatura, el clima u otros factores, la presión absoluta establece un valor
preciso e invariable que se puede identificar fácilmente. Así pues, el punto cero de una escala de
presión absoluta corresponde a un vacío perfecto, en tanto que el punto cero de una escala de
presión relativa por lo regular corresponde a la presión del aire que nos rodea en todo momento y,
esta varía ligeramente con el clima.
Si se toma una lectura de una columna de mercurio como se ilustra en la Figura 2.7, con un
recipiente abierto a la atmósfera, el recipiente se llama barómetro, y la lectura de la presión
atmosférica recibe el nombre de presión barométrica.
En todos los dispositivos para medir la presión el fluido está en equilibrio; es decir, se alcanza un
estado de balance hidrostático en el que el fluido el manómetro se estabiliza, y la presión ejercida
sobre el fondo del tubo en U en la parte del tubo conectada al tanque de CO2. El agua y el mercurio
son los fluidos indicadores que se usan comúnmente en los manómetros, de modo que las lecturas
se pueden expresar en centímetros de agua, centímetros y/o milímetros de mercurio.
Vacío
Mercurio
Presión manométrica
Presión absoluta
Presión absoluta
Vacío
Figura 1.8 Escalas de presión.
Ejemplo 4:
Un medidor de presión de un tanque de CO2 presenta una lectura de 50 psi. El barómetro indica 28
in Hg. Cuál es la presión absoluta del tanque en kPa, cuánto debería marcar el medidor si su
escala estuviera en kPa?
Solución:
101.325 kPa
14.7psi
? 344.64kPa
pman ? 50psi*
101.325 kPa
29.92in Hg
? 94.82kPa
? 28in Hg*
pbar
Entonces la presión absoluta en el tanque será:
pabs ?344.64?94.82 ? 439.46kPa
1.3.3 Densidad y volumen específico
3
3
presión, sin embargo, con la temperatura sí hay variaciones significativas. Para agua, la densidad a
3 3
3
hielo flota. La densidad de una mezcla depende de la temperatura y además de la composición,
3
volumen específico es el inverso de la densidad.
Vacío perfecto
Pulgadas de mercurio
Pascales
Presión superior a la atmosférica
Presión atmosférica estándar
Presión barométrica
39.3
29.92
29.1
10.2
0.82
0.0
0.0
Presión inferior a la atmosférica
5.0
-5.0
24.1
29.1
0.0 -29.1
0.0
81 615
133 091
101 325
98 540
1.3.4 Gravedad específica o peso específico relativo
Es una propiedad relacionada directamente con la densidad. La gravedad específica S de una
sustancia, es la relación de su densidad a la del agua destilada a 4°C. Puesto que la gravedad
específica es una relación de densidades, se trata de una cantidad adimensional. La temperatura,
presión y naturaleza de la sustancia son variables que afectan la gravedad específica. En general,
las mediciones industriales de la gravedad específica son realizadas para determinar la naturaleza
de los líquidos y condiciones tales como el porcentaje de suspensión o el grado de disolución y
concentración. En términos generales, podemos decir que no existen unas unidades de gravedad
específica especiales. Sin embargo, hay ciertas unidades que han sido seleccionadas
arbitrariamente por su conveniencia para algunas industrias en particular. Por ejemplo, en la
industria petrolera la gravedad específica de los productos de petróleo suele informarse en
términos de una escala de hidrómetro llamada °API. La ecuación de la escala API es:
?131.5
141.5
S
?API ?
Ec. 1-13
También es común escuchar el término grados Brix, °Bx, para reportar la gravedad específica (o
mejor la concentración de sólidos disueltos) en la industria azucarera. También en la industria se
utilizan los grados Beaumé, los grados Richter, etc.
1.3.5 Composición
Como en la industria generalmente se manejan soluciones, es importante conocer las diversas
formas de expresar la composición de las corrientes. Para efectuar los balances de materia es
indispensable conocer la composición porcentual de las corrientes además del flujo total.
? Porcentaje en peso o fracción másica
Es la relación entre el peso del componente i (mi) sobre el peso total de la solución(mT). Es la mejor
forma de expresar la composición para efectuar balances de materia.
mi
mT
wi ?
Ec. 1-14
? Porcentaje en volumen
Es la relación entre el peso del componente i sobre el volumen total de la solución (VT).
mi
VT
%P/V ?
Ec. 1-15
? Porcentaje en volumen
Es la relación entre el volumen del componente i (Vi)sobre el volumen total de la solución. Esta se
emplea para indicar por ejemplo, el contenido de alcohol en los licores.
Vi
VT
%V ?
Ec. 1-16
? Composición y fracción molar
Las plantas químicas donde hay reactores usan comúnmente la cantidad de sustancia para
expresar la composición. También muchos reportes de laboratorio usan cantidades molares. La
fracción molar se refiere a las moles de componente i (ni) sobre las moles totales de solución (o de
la corriente), nT.
ni
nT
xi ?
Ec. 1-17
Cuando la composición se expresa en porcentajes, se conoce como porcentaje molar o
composición molar.
m
m ?
? Molaridad
Se refiere a las moles de soluto sobre el volumen total de la solución. Una solución uno molar, 1M,
indica que contiene un mol de soluto en un litro de solución.
ni
VT
M i ?
Ec. 1-18
? Partes por millón
Una ppm corresponde a una masa de un mg de soluto en 1 kg de solución. Se utiliza cuando el
soluto está en muy baja proporción. Se utiliza mucho para contaminantes que se analizan en una
corriente de aire. También se utiliza comúnmente las partes por billón.
1.3.6 Flujo
? Flujo másico
Indica la cantidad de masa que circula por una unidad de tiempo.
Ec. 1-19
.
t
? Flujo volumétrico o Caudal
Representa la magnitud del volumen que pasa por un sitio dado por unidad de tiempo.
V
t
Q ?
=A*V
Ec. 1-20
m
Q
donde V es el volumen, t es el tiempo, A es el área transversal y V es la velocidad del flujo en m/s.
El caudal se puede convertir en flujo másico utilizando la densidad de la corriente, mediante
.
? ?
Ec. 1-21
Ejemplo 5:Una mezcla de gases de combustión presenta la siguiente composición en base molar:
10% CO2, 2% CO, 75% N2, 9% O2, 4% H2O. Calcule la composición molar y el peso molecular
promedio.
Solución:
Se puede elegir una base de cálculo de 100 kmol/s de gas de combustión. Así, se calculan las
cantidades molares y másicas de cada componente del gas para obtener finalmente la
composición molar, como se muestra en la siguiente Tabla.
Tabla 1-6 Cálculo de los flujos molar y másico para el ejemplo 5.
?
h ? 0.943? ?
? ?
El peso molecular se define como la cantidad de masa por unidad molar, así
2956
100
? 29.56
PM ?
que será el peso molecular de la mezcla.
Ejemplo 6: El peso específico relativo de una disolución de KOH a 15°C es 1.0824 y contiene
0.813 lb de KOH por galón de disolución. ¿Cuál es la fracción molar de KOH en la disolución?
Solución:
Base de cálculo: 1 galón de disolución (3 785 mL)
Masa total:
1.0824
*3785mL ? 4096.88g
g
mL
Masa de KOH:
453.6 g
1lb
0.813lb*
? 368.78g
Masa de agua:
Fracción molar de KOH:
56.102
368.78 3728.10
56.102 18
4096.88-368.78 = 3728.10 g
368.78
? 0.03076
?
xKOH
1.4Ejercicios
1. Un cantinero asegura que su marca de ron es tan fuerte que los cubos de hielo no flotan en él.
¿Es esto posible?
2. Una mezcla de gases de tres componentes: Argón, B y C. Se obtiene el siguiente análisis de la
mezcla: 35 % en base molar de Argón, 19 % en base másica de B, 30 % en base molar de C. El
peso molecular del Argón es 40 y el de C es 50. Calcule el peso molecular de B y el peso
molecular promedio de la mezcla.
3. El aceite de semilla de algodón tiene un peso específico relativo de 0.926, cuánta es la cantidad
máxima (en kg) que se puede transportar en un recipiente de 55 galones? ¿Cuántos recipientes
tendría que llenar para transportar 10 000 kg de aceite de semilla de algodón?
4. Dos estudiantes de ingeniería están calculando el peso molecular promedio de una mezcla que
contiene oxígeno y otros gases. Uno de ellos usa un peso molecular de 32 para el oxígeno y
determina que el peso molecular promedio de la mezcla es 39.2. El otro usa un peso molecular de
16 (incorrecto, lógicamente) y determina que el peso molecular promedio de la mezcla es 32.8.
Este es el único error en sus cálculos. ¿Qué porcentaje molar de oxígeno tiene la mezcla?
5. La relación de Nusselt para predecir el coeficiente de transferencia de calor entre un vapor
saturado y una superficie más fría es:
0.25
?k 3? 2g? ?
? L??T ?
2
3
gravedad, 4.17*108 ft/h , ? es el cambio de entalpía en BTU/lb, L es una longitud característica en
2
ft, ? es la viscosidad en lb/h?ft y ?T es una diferencia de temperaturas en °F. Cuáles son las
unidades de la constante 0.943. Construya una expresión para calcular el coeficiente de
transferencia de calor en unidades SI, al reemplazar cada propiedad de la ecuaciónen unidades
SI.
6. Los sedimentos portuarios en el área de New Bedford, Massachusetts contienen PCB en
niveles de hasta 190 000 ppm. ¿Cuál es el porcentaje en masa de los PCB en dichos sedimentos?
7. Una publicación técnica describe un modelo de un motor de 20 HP que impulsa un generador
de 68 kW. ¿Es esto posible?
8. El análisis (másico) de un tanque que contiene 100 kg de gas a presión constante es: CO
19.3%, N2 72.1%, O2 6.5 %, H2O 2.1%. ¿Cuál es el peso molecular promedio del gas? ¿Cuál es la
dimensión del tanque si se quiere almacenar dicho gas a la temperatura ambiente y a 50 MPa?
Use la ecuación del gas ideal y la corrección por el factor de compresibilidad. Calcule el factor de
compresibilidad de la mezcla usando una temperatura crítica de mezcla calculada como el
promedio ponderado molar de las temperaturas críticas de cada componente. Calcule la presión
crítica de la mezcla de la misma manera que lo hizo para la temperatura crítica de la mezcla.
9. ¿Cual es el volumen molar real de metano a 10 MPa y 500 °C?
10.Calcule la temperatura de ebullición a 1 atm y a 1.5 atm para tetracloruro de carbono, CCl4,
utilizando la ecuación de Antoine.
11.Calcular la temperatura de ebullición a 650 mmHg para ciclohexano.
12.Calcular la presión de vapor a 60°C para acetona. Según su resultado ¿Cuál es la fase de la
acetona a 60 °C y 100 kPa?
13.Obtenga las constantes de la ecuación de Antoine para ácido acético, de tal manera que se
pueda reemplazar la temperatura en Kelvin, para obtener la presión de vapor en Kilopascales.
14.Una disolución acuosa 5 M de un soluto cuyo peso molecular es 105, tiene una gravedad
específica de 0.94. Calcule la composición másica del soluto en la disolución.
15.El volumen de un depósito grande de forma irregular se determinó de la siguiente manera:
Primero se hizo vacío en el depósito y después se conectó una botella de gases de 50 L
conteniendo nitrógeno a 2100 kPa. La presión del gas en la botella se redujo a 150 kPa después
de conectarlo al depósito. Calcule el volumen del depósito.
16.Usted prepara un coctel mezclando 25 mL de una bebida alcohólica con etanol al 25%, con 35
mL de otra bebida alcohólica con etanol al 43%. Cuál es la composición alcohólica del coctel que
preparó. Suponga que la densidad relativa en las bebidas es 0.93.
17.Un gas se recoge sobre agua cuando la presión barométrica es de 756 mm Hg, pero el nivel del
agua dentro del recipiente de gas es 4.5 cm más alto que fuera. ¿Cuál es la presión total del gas
dentro del recipiente en mm Hg?
18.Un manómetro conectado en una tubería del condensador de una turbina indica 27 pulgadas de
mercurio de vacío. La lectura del barómetro es 630 mm Hg. ¿Cuál es la presión absoluta en kPa?
Cp = 8.4448 + 0.5757×10 *T – 0.2159×10 *T + 0.3059×10 *T
19.Usted debe diseñar un tanque de acero en el que se almacenará CO2 a 293 K. El tanque tiene
3
CO2?
20.La capacidad calorífica suele darse en términos de funciones polinómicas de la temperatura.
Para el CO2 se encontró en el apéndice de un libro que
-2 -5 2 -9
3
Donde T está en °F y Cp en BTU/lbmol°F. Usted debe convertir a raíz de las determinaciones de la
IUPAC, esta ecuación de forma tal que pueda reemplazar T en °C para obtener Cp en J/mol K.
2 Mecánica De Fluidos
2.1 Introducción
El comportamiento de los fluidos (líquidos, gases y vapores) es importante para los procesos de
ingeniería en general y constituye uno de los fundamentos para el estudio de las operaciones
unitarias. El conocimiento de los fluidos es esencial no sólo para tratar con exactitud los problemas
de movimiento de fluidos a través de tuberías, bombas y accesorios, sino también para el estudio
del flujo de calor y de muchas operaciones de separación que dependen de la difusión y la
transferencia de materia.
La mecánica de fluidos tiene dos ramas importantes: la estática que trata de fluidos en equilibrio sin
esfuerzo cortante, y la dinámica que trata los fluidos cuando una parte de los mismos se mueven
con relación a otras partes.
Si se intenta variar la forma de una masa de fluido se produce un deslizamiento de unas capas de
fluido sobre otras hasta que se alcanza una nueva forma. Durante la variación de la forma, se
producen esfuerzos cortantes, cuya magnitud depende de la viscosidad del fluido y de la velocidad
de deslizamiento, pero cuando se alcanza la forma final, desaparecen todos los esfuerzos
cortantes. Un fluido en equilibrio carece pues de esfuerzos cortantes.
A una determinada temperatura y presión, un fluido puro posee una densidad definida, que
3
temperatura y presión, el fluido se denomina incompresible; pero si la densidad varía
considerablemente con cambios moderados en presión y temperatura se trata de un fluido
compresible; en general, los líquidos son incompresibles y los gases son compresibles. Sin
embargo, estos términos son relativos pues la densidad de un líquido puede variar
considerablemente para grandes variaciones de la temperatura y presión.
2.2Concepto de presión
El término presión se refiere a los efectos de una fuerza que actúa distribuida sobre una superficie.
La fuerza puede ejercerla un sólido, un líquido o un gas. Frecuentemente la fuerza causante de
una presión es simplemente el peso de un cuerpo o material. La presión ejercida por un fluido varía
directamente con la profundidad. De allí que la presión en el fondo de una presa sea
considerablemente mayor que en las zonas cercanas a la coronación de la misma; la presión que
actúa sobre los submarinos es enorme en las grandes profundidades de los océanos. La presión
que ejerce la atmósfera sobre cada uno de nosotros es significativa, y basta pensar que si una
persona se sumerge 10 metros en el fondo del mar la estaría duplicando. La mayor profundidad en
el océano llamada la fosa de las Filipinas mide 11000 metros, es decir que en ese punto la presión
5
La presión en un fluido se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y actúa en forma
normal a cualquier superficie plana. En el mismo plano horizontal, el valor de la presión en un
líquido es igual en cualquier punto. La medida de la presión relativa se realiza con el manómetro,
que puede operar de diversas formas, por altura de columna de fluido como los manómetros de
mercurio, por desplazamiento de un resorte, como los manómetros de Bourdon, etc. Se llama
presión relativa o manométrica porque al sumar la presión ejercida por la atmósfera tendremos la
presión absoluta.
La presión se expresa mediante:
dF
dA
p ?
Ec. 2-1
La unidad aceptada por el sistema internacional para la presión es el Pascal (Pa), que se define
2
genera una vaso desechable pequeño lleno con agua, lo que indica que un Pascal es una unidad
muy pequeña; debido a esto comúnmente se emplea el kPa y el MPa.
El término vacío se utiliza para indicar que en un espacio la presión es menor que la presión de la
atmósfera. Se entiende por presión atmosférica, por supuesto, la presión reinante alrededor
nuestro. Varía ligeramente con las condiciones meteorológicas y decrece con la altitud. Al nivel del
mar la presión atmosférica es 101.325 kPa, que se conoce como presión normal. En Santiago de
Cali la presión es 680 mmHg y en la cima del Everest la presión es 200 mmHg. Esta presión varía
ligeramente con las condiciones climáticas.
El vacío se mide como el valor de la presión por debajo de la atmósfera. Por ejemplo, si se bombea
hacia el exterior el aire contenido en un depósito se obtiene vacío. El vacío máximo que se puede
obtener es 101.325 kPa a nivel del mar. El vacío generalmente se expresa en unidades de altura
de columna de fluido, como el milímetro de mercurio, mmHg; comúnmente se ha empleado la
pulgada de mercurio. Una presión absoluta de 600 mmHg equivale a un vacío de 160 mmHg o una
presión de –160 mmHg.
La presión generalmente se expresa como absoluta o manométrica. Por ejemplo, una presión
manométrica de 5 kPa, equivale a una presión absoluta de 106.3 kPa si la presión atmosférica en
el lugar es 101.3 kPa. Considere una olla a presión dispuesta con un manómetro en la tapa. Usted
carga la olla con agua y la cierra herméticamente. En este momento la presión que marca el
manómetro es cero. Si usted calienta la olla, lo suficiente para que varias moléculas de líquido
pasen a la fase de vapor, observará que el manómetro marcará cada vez una presión mayor. Un
manómetro dispuesto en cualquier lugar de un recipiente que contiene gas marcará siempre la
misma presión. Un manómetro dispuesto en un recipiente lleno de líquido marcará la mayor
presión en el fondo.
El barómetro, construido por Evangelista Torricelli es el instrumento empleado para medir la
presión atmosférica. Este consiste de un tubo transparente colocado verticalmente sobre una
cubeta que contiene mercurio. La presión que ejerce el aire del ambiente impide que el mercurio
salga del tubo. La altura hasta la que el mercurio baja, a nivel del mar, es 760 mm Hg.
Aunque el barómetro puede utilizarse para medir la presión atmosférica, es necesario muy
frecuentemente medir la presión de otros fluidos, por ejemplo cuando se desplazan por una tubería
cerrada. Se utilizan tubos en U conectados a la línea de flujo o a la pared llenos de un líquido que
es insoluble en el fluido de interés; así se puede emplear mercurio o aceite para medir la presión
de agua. Estos se conocen como manómetros en U. También se puede conectar un tubo vertical
largo a la línea de flujo, así la altura que logra subir el fluido determina la presión a la cual fluye.
Estos dispositivos se llaman piezómetros. Existen varias disposiciones para los tubos en U, de tal
manera que se podrían medir presiones muy bajas.
Cuando interesa medir la diferencia de presión entre dos puntos de un tramo, se conectan
mediante una manguera, cuando la presión en unos de los extremos varía, se observa una
diferencia en el nivel del manómetro. La aplicación principal de estos manómetros diferenciales es
en la medición de velocidades de flujo, como en el tubo vénturi y el tubo de Pitot. El desarrollo de la
electrónica ha permitido el uso de sensores de presión que actúan según diversos mecanismos
con altas precisiones.
2.3Equilibrio hidrostático
Considere el elemento diferencial mostrado en la Figura 3.1. La fuerza que actúa sobre el punto A
será
FA ? FB ?mg
donde m es la masa del elemento diferencial y g es la gravedad. Reemplazando las fuerzas
utilizando la definición de presión y la masa utilizando la definición de densidad,
pA*A ? pB *A? ?*Vd *g
donde Vd es el volumen y ? es la densidad. Como
Vd
A
ZB ? ZA ?
se tiene finalmente que
pA ? pB ? ?*g*(ZB ?ZA)
como se trata de un elemento diferencial, se concluye que la variación de presión se expresa
mediante
dp ? ??dZ
Ec. 2-2
donde ? ? ?g , se conoce como peso específico. El signo negativo indica que la presión
disminuye al aumentar la altura.
p
?
h ?
Ec. 2-5
B
A
Z=0
Figura 2.1 Elemento diferencial de un fluido.
La diferencia de presión entre dos puntos a distintos niveles en un líquido (fluido incompresible) es:
p2 ? p1 ??(Z2 ?Z1) Ec. 2-3
donde ? es el peso específico del fluido y ?h es la diferencia de niveles. Si el punto 1 está en la
superficie del líquido y h incrementa hacia abajo, la ecuación se transforma en
p ??h Ec. 2-4
Las ecuaciones anteriores se aplican si el peso específico permanece constante con la altura. La
altura de líquido que produce una presión relativa p se obtiene mediante
Z = ZB
dZ
Z = ZA
p ?101.325*? ? 0
? ?
kmol?K
Las variaciones de presión en un fluido compresible son pequeñas, por lo general, ya que los
pesos específicos son pequeños, como lo son también las diferencias de elevación consideradas
generalmente en casos prácticos. Solamente para el mercurio, que tiene un peso específico 13.6
veces mayor que el del agua, se tienen presiones significativas con pequeñas alturas de columna
de fluido.
La ecuación diferencial de presión hidrostática permite el cálculo de la presión barométrica en la
troposfera, aplicada a un fluido compresible: el aire. Utilizando la densidad del aire calculada con la
ecuación de los gases ideales y suponiendo una disminución lineal de la temperatura con la altura,
se puede determinar la presión barométrica como función de la altura y de la temperatura, como se
muestra a continuación:
Para un gas ideal,
PM
RT
? ?
donde P es la presión (en kPa), M es el peso molecular del aire, 29 kg/kmol, R es la constante de
3 -1 -1
temperatura varía con la altura mediante
T ?T0 ??Z
donde ?=0.0065 K/m, T0 = 288 K (15 °C).
La ecuación de presión hidrostática quedará
gdZ
PM
R(T0 ??Z)
dp ? ??gdZ ? ?
Separando variables
dp
p
?
?
Mg dZ
R T0 ??Z
Integrando teniendo en cuenta que para Z = 0, p = 101.325 kPa se obtiene
Ec. 2-6
Mg
?T ??Z ?R?
? T0 ?
Observe que Mg/(R?) es adimensional
1kN
*
1000 N
K
*0.0065
m
? 5.258647
kg m
29 *9.8
kmol s
kN?m
8.31451
?
Mg
R?
Esta ecuación predice una presión a la altura del Everest de tan solo 31.40 kPa (236 mmHg) con
una temperatura de –42.51 °C, tal como se muestra en la Tabla siguiente.
Tabla 2-1 Resultados de la modelación del aire como un fluido estático.
Z(m)
0
100
500
p (kPa)
101.33
100.13
95.45
T (°C)
15.00
14.35
11.75
1000
2000
8848
10000
89.86
79.47
31.40
26.40
8.50
2.00
-42.51
-50.00
A
3.200 m
2.743 m
C
D
S=1.6
F
G
E
3.429 m
3.048 m
Líquido B S=?
Figura 2.2 Manómetro con un líquido de densidad desconocida.
Ejemplo 2:
Determinar la presión diferencial entre las tuberías A y B para la lectura del manómetro diferencial
que se muestra en la Figura 3.3.
Solución:
pA ? p1 ?? agua*(Z1 ?Z A) ? 9800*x
p1 ? p2 ? 0.8*? agua*(Z2 ?Z1) ? 0.8*9800*0.7
p2 ? pB ?? agua*(ZB ?Z2) ? ?9800*(x?0.7?1.5)
Sumando las tres ecuaciones, se obtiene
2.4Manómetros
Un manómetro es un dispositivo que sirve para medir presiones manométricas o diferencias de
presiones en ductos.
Ejemplo 1:
Para una presión manométrica en A de –10.89 kPa, encontrar la densidad relativa del líquido
manométrico B de la Figura 3.2.
Solución:
pC ? pD pA ?1.6*? agua*(3.200?2.743) ? ?10.89?1.6*9.8*0.457 ? ?3.724 kPa
Ahora bien pG = pD = -3.724 kPa, ya que el peso de los 0.686 m de aire puede despreciarse sin
cometer un error apreciable. Además pF= pE= 0.
Por tanto,
pG ? pE ?S*9.800*(3.429?3.048)
?3.724 ? 0?S*9.800*(0.381)
S ? 0.997
Lo que implica que el fluido B es agua!
Aire
?
mA ? ? AVAAA
y el flujo másico en el punto B será:
.?
mB ? ?BVBAB
Ec. 2-7
Ec. 2-8
Figura 2.4 Volumen de control para demostrar la ecuación de continuidad.
El principio de conservación de masa establece que:
VA, ?A, AA
VB, ?B, AB
0.7 m
1
1.5 m
xm
Agua
A
Figura 2.3 Manómetro con una longitud desconocida.
2.5Ecuación de continuidad
En el flujo estacionario, el balance de materia, es sencillo. La velocidad de entrada de masa en el
sistema de flujo es igual a la de salida, ya que la masa no puede acumularse ni vaciarse dentro del
sistema de flujo en condiciones estacionarias.
Consideremos el tubo representado en la Figura 3.4. El fluido entra a la tubería en el punto A,
donde el área de sección transversal es AA, la velocidad es VA y la densidad es ?A, y sale por el
punto B, donde el área de la sección transversal es AB, la velocidad es VB y la densidad es ?B. Así
el flujo másico en el punto A será,
pA ? pB ?9800(x?0.8*0.7? x?0.7?1.5) ?13328Pa ?13.328kPa
Los principios físicos más útiles en las aplicaciones de la mecánica de fluidos, en la parte
concerniente a la dinámica, son el balance de materia o ecuación de continuidad, la ecuación del
balance de cantidad de movimiento (o ecuación de Bernoulli) y el balance de energía mecánica.
Aceite
S=0.8
2
Agua
B
mA ? mB
? ? ? B ? ?
. .
Con lo que se obtiene
?AVAAA ? ?BVBAB
Ec. 2-9
Ec. 2-10
que se conoce como ecuación de continuidad y se aplica tanto a fluidos compresibles como
incompresibles. El término VA*AA se conoce como flujo volumétrico o caudal. La velocidad VA en
realidad es una velocidad promedio ya que el perfil de velocidades en cualquier punto de una
tubería es variable, haciéndose mínimo en cercanías a la pared de tubería, como se muestra en la
Figura 3.5, donde además se presentan líneas de corriente (punteadas).
Una línea de corriente es una línea imaginaria en la masa de fluido en movimiento, representada
de forma tal que en cada punto de la curva, el vector de velocidad es tangente a la línea. Entre dos
líneas de corriente existe una lámina de corriente que se desliza con velocidad propia sobre la
lámina inferior. El efecto del deslizamiento produce un esfuerzo cortante conocido como
viscosidad.
Figura 2.5 Perfiles de velocidad en una tubería y líneas de corriente.
Si la densidad del fluido no cambia en el tramo estudiado y si la tubería es de sección transversal
circular se tiene:
2
2
DB
4
DA
4
?VBAB ?VB?
VAAA ?VA?
donde DA es el diámetro de la tubería en el punto A y DB es el diámetro de la tubería en el punto
B.Así,
2
? D ?
? DA ?
VA
VB
Ec. 2-11
Ejemplo 3:
Fluye agua a una velocidad uniforme de 3 m/s hacia una tobera que reduce el diámetro desde 10
cm hasta 2 cm. Calcule la velocidad del agua que sale de la tobera y el flujo másico y el caudal
respectivo.
Solución:
Punto A,
3m/s
Figura 2.6 Tobera del ejemplo 3.
Se escoge como volumen de control el interior de la tobera. Al utilizar la ecuación de continuidad se
obtiene:
Punto B
2
? DB ? ? 2 ?
m
s
*75
(0.02m)2
4
kg
m3
? 7.5kg/s
*?
?
mB ?1000
3
m3
h
7.5
1000
? 27
? 7.5*10
?
QB ?
?3 m
s
.
mB
?
Las tuberías comerciales tienen diámetros nominales que no necesariamente coinciden con su
diámetro interno real; también debido a sus diseños para soportar diversas presiones, las tuberías
tienen diversos espesores que se denominan catálogos o cédulas. La Tabla siguiente muestra las
dimensiones de tuberías comerciales de acero. Los cálculos de tuberías están restringidos a las
dimensiones comerciales por razones de obtención de ellas.
de Acero basadas en ANSI B36.10-
Tabla 2-2 Dimensiones y pesos de tuberías normalizadas
1959
Tamaño
(in)
nominal Catálogo DE (cm) DI (cm)
Espesor
(cm)
Peso
(kg/m)
¼
½
¾
1
1½
2
3
5
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
40
80
1.372
1.372
2.134
2.134
2.667
2.667
3.340
3.340
4.826
4.826
6.033
6.033
8.890
8.890
14.130
14.130
0.925
0.767
1.580
1.387
2.093
1.885
2.664
2.431
4.089
3.810
5.250
4.925
7.793
7.366
12.819
12.225
0.224
0.302
0.277
0.373
0.287
0.391
0.338
0.455
0.368
0.508
0.391
0.554
0.549
0.762
0.655
0.953
0.63
0.80
1.27
1.62
1.68
2.19
2.50
3.23
4.05
5.40
5.43
7.47
11.28
15.25
21.76
30.92
* DE: Diámetro exterior, DI: Diámetro interior.
Ejemplo 4:
Por la conducción que se presenta en la Figura 3.7 fluye crudo de petróleo cuya densidad relativa
es 0.887. La tubería A es de 2 pulgadas catálogo 40, la tubería B es de 3 pulgadas catálogo 40 y
cada una de las tuberías C es de 1 ½ pulgadas catálogo 40. A través de cada una de las tuberías
3
Calcular el flujo másico, el caudal y la velocidad media en cada tubería.
Solución:
Tubería C
Tubería C
Tubería B
Tubería A
m
0.0525 m
1.8611*10?3
?5.250?
0.07793 m
m
Figura 2.7 Divisor de flujo del ejemplo 4.
Tubería A:
1h
3600s
*
m3
h
?1.8611*10?3m3/s
QA ? 6.7
kg
s
m3
s
kg
3
?1.6508
*1.8611*10?3
?
mA ? 887
2
2
4
? 2.16475*10?3m2
AA ?? *
m3
?3 s ? 0.85973m
2.1647*10 m2 s
VA ?
m
s
2
Tubería B:
VB ? 0.85973*? ? ? 0.39019
?7.793?
kg
s
*887
4
m
s
kg
3
2
2
?1.6508
*?
?
mB ? 0.39019
2
0.040892
4
? 0.70862m/s
?
Tuberías C:
Por cada tubería C fluye la mitad de la masa, así:
?
mC ? 0.8254kg/s
1.8611*10?3
? *
QC
AC
VC ?
A continuación estudiaremos los efectos de la viscosidad sobre un flujo interno incompresible.
Estos flujos son especialmente importantes para los ingenieros. El flujo en un tubo circular es sin
duda el flujo interno más común de fluidos; existe en las venas y arterias de un cuerpo, en el
sistema de agua de una ciudad, en el sistema de riego de un agricultor, en los sistemas de tuberías
que transportan fluidos en una fábrica, en las líneas hidráulicas de un avión y en el chorro de tinta
de la impresora de una computadora. También existen los flujos en ductos no circulares, en
canales abiertos y en redes de tuberías como los acueductos y alcantarillados.
2.6 Ecuación de Bernoulli
Una importante relación, denominada ecuación de Bernoulli sin fricción, puede deducirse aplicando
el balance de cantidad de movimiento para el flujo estacionario de un fluido con flujo potencial a un
elemento diferencial de volumen. La ecuación de Bernoulli es una forma especial del Balance de
Energía en el que sólo aparecen términos de energía mecánica.
Consideremos un elemento de volumen de fluido que circula a lo largo de un tubo de sección
transversal constante con flujo potencial estacionario como se muestra en la Figura 3.8.
La segunda Ley de Newton, aplicada en la dirección del flujo será:
pA?(p?dp)A?mgcos? ? ma Ec. 2-12
? 2 ? Z2 ? 2
Figura 2.8 Elemento diferencial con flujo potencial.
dZ
dL
como cos? ?
, se obtiene
dV dL
dL dt
dZ
dL
? ?AdL
pA? pA?dpA??dLA
Ec. 2-14
Así,
?dp??dZ ? ?VdV
Ec. 2-15
Integrando entre dos puntos de un tramo de tubería se obtiene
?
Ec. 2-16
2g
Dividiendo por ? y agrupando términos se tiene finalmente
p V 2
V12
2g
? Z1 ?
? 2g
p1
?
Ec. 2-17
que es la ecuación de Bernoulli, o ecuación de energía en términos de carga (en unidades de
longitud). Cada término de la ecuación de Bernoulli tiene un nombre:
p
?
es la carga de presión
estática,
p
?
? Z es la carga piezométrica y
V 2
2g
es la carga de velocidad. La suma de carga
piezométrica y carga de velocidad se denomina carga total. Observe que para un fluido quieto, la
ecuación de Bernoulli se convierte en la ecuación del equilibrio hidrostático.
La ecuación de Bernoulli es de gran utilidad en el tratamiento de fluidos incompresibles. Dicha
ecuación establece que en flujo potencial (en ausencia de fricción o efectos viscosos), cuando la
velocidad disminuye, la presión o la altura o ambas tienden a aumentar. La razón de la
compensación entre la presión, altura y velocidad se entiende si se tiene en cuenta que estos son
términos que representan el trabajo mecánico, energía potencial y energía cinética
respectivamente, lo cual está de acuerdo con el principio de la conservación de energía.
Es común referirse a la presión p como presión estática y la suma de los dos términos
Ec. 2-13
(p+dp)A
Z+dZ
pA?(p ? dp)A? ?gAdLcos? ? ?Adl
dL
pA
Z
dV
dt
?
mg
? ?
P 101.325?0.016*9.8
? pE
V 2
2
p ? ?
Ec. 2-18
se denomina presión de estancamiento.
Figura 2.9 Piezómetro y tubo de Pitot.
La presión estática en una tubería puede medirse con sólo instalar un piezómetro, que se muestra
en la Figura 3.9. Un dispositivo llamado tubo de Pitot, que se muestra esquemáticamente sirve
para medir la presión de estancamiento en un fluido. El punto 2 justo adentro del tubo de Pitot es
un punto de estancamiento, donde la velocidad es cero. Podemos utilizar la diferencia entre las
lecturas para determinar la velocidad en el punto 1, mediante la ecuación de Bernoulli, así
(p2 ? p1)
V1 ?
2
?
Ec. 2-19
Ejemplo 5:
La carga de presión estática en una tubería de aire se mide con un piezómetro que marca 16 mm
de agua. Un tubo de Pitot en el mismo punto indica 24 mm de agua. Calcule la velocidad del aire a
20°C.
Solución:
kg
m3
?1.2
La densidad del aire será
?
RT 8.314/28.84*293.15
La velocidad, aplicando la ecuación en el punto de estancamiento del tubo de Pitot será:
m
s
2
1.2
(0.024?0.016)*9800 ?11.43
V1 ?
Ejemplo 6:
Por el fondo de un gran tanque abierto, Figura 3.10 se está derramando aceite con una densidad
relativa de 0.8 por una tubería de ½ pulgada, catálogo 40. El punto de vaciado está 5 m debajo del
nivel del tanque de aceite. Calcule el caudal y la velocidad de salida del aceite despreciando los
efectos viscosos.
Solución:
? 1
La aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se hace teniendo en cuenta varias
consideraciones. La presión estática en ambos puntos es cero, pues generalmente se supone que
la presión manométrica en el nivel superior de tanques abiertos vale cero. La velocidad en el punto
1 es tan baja que se puede igualar a cero, así, la ecuación de Bernoulli quedará resumida a
V22
2g
Z1 ? Z2 ?
Obteniéndose
V2 ? 2g(Z1 ?Z2) ? 2*9.8*(5) ? 9.899 m/s
Figura 2.10
La aplicación de la ecuación de Bernoulli permite el cálculo del caudal de diversos flujos mediante
el empleo de un tubo vénturi. Un tubo vénturi es una contracción en la tubería. Se determina el
caudal en la tubería midiendo la caída de presión por efecto de la contracción.
Ejemplo 7:
La caída de presión en un tubo vénturi se muestra en la Figura 3.11. En el punto 1 la tubería tiene
un diámetro de 10 cm. En el punto 2 el diámetro es 8 cm. El manómetro utiliza mercurio. Determine
el caudal.
Solución:
La ecuación de Bernoulli aplicada entre los puntos 1 y 2 será
V 2
2g
V22
2g
?
p1 ? p2
?
5m
1
2
5 cm
1
2
? ?
Q2 ?
D1 4 ? ?
2g? 2 *? ? 1
? ?
42 *? ?
? 1 1 ?
D1 4 ? ?
? D2
m2
2*9.8 2 *? 2 *
?
16*?
4 ?
?0.08 0.1 ? m
Figura 2.11 Tubo vénturi. como
D2
4
D1 2
4
?V2 *?
Q ?V1 *?
se tiene
?
?
?
4
?Q2
? D2
1 42
2g ? 2
p1 ? p2
?
Despejando el caudal se tiene
Q ?
? p ? p2 ?
? ? ?
? ?
4
La caída de presión entre los puntos 1 y 2 se puede igualar a la diferencia de niveles en el
manómetro de mercurio, así
? Z2 ? Z1 ? 5cm Hg
p1 ? p2
?
N
m2
p1 ? p2 ?13.6*9800*0.05 ? 6664
Entonces
m
6664
9800 3
4 4
N
s N
m3 ? 0.02388m ? 23.88L
? 1 1 ? 1 s s
Q ?
2.7 Balance de Energía
Cuando un cuerpo sólido se mueve en un fluido, se originan fuerzas que no tendrían lugar si el
sólido se moviera en su espacio vacío. Por la tercera Ley de Newton, el cuerpo ejerce sobre el
fluido una fuerza igual pero de sentido contrario a la que el fluido ejerce sobre el sólido. Esta fuerza
que el fluido ejerce sobre el sólido se traduce en pérdidas de energía debido al movimiento del
sólido en el fluido. Esta fuerza también es análoga a la fuerza que experimenta un fluido cuando se
mueve por una superficie sólida, como en el caso del agua que se transporta por una tubería o el
movimiento del fluido entre dos placas.
En casi todos los problemas de flujo, es necesario considerar las pérdidas, las cuales se deben a
dos efectos primarios: 1. La viscosidad produce fricción interna que eleva la energía interna o
causa transferencia de calor. 2. Los cambios de geometría producen flujos separados que
requieren energía útil para mantener los movimientos secundarios que se generan.
En una tubería, las pérdidas debidas a efectos viscosos se distribuyen por toda la longitud,
mientras que la pérdida debida a un cambio de geometría (una válvula, un codo, un
ensanchamiento) se concentra en las inmediaciones del cambio de geometría. El cálculo analítico
de las pérdidas es un poco difícil, sobre todo si el flujo es turbulento. En general, la predicción de
las pérdidas se basa en fórmulas empíricas, como se verá más adelante. El flujo de fluidos está
siempre acompañado de rozamiento de las partículas de fluido entre sí y, consecuentemente, por
(kg/m )
Peso específico (N/m )
Viscosidad cinemática (m /s)
(kg/m )
(m /s)*10
la pérdida de energía disponible; en otras palabras, tiene que existir una pérdida de presión en el
sentido del flujo.
Para aplicar la ecuación de Bernoulli a flujos reales se introduce un valor de corrección llamado
pérdida de carga, hL, que es igual a la suma de la pérdida de carga por la fricción del fluido hf y la
pérdida de carga por los cambios en la geometría de la tubería hK La pérdida de carga representa
la conversión de energía mecánica en calor, es decir, todas las formas de energía no utilizables; y
que aparece mientras el fluido fluye desde el punto uno hasta el punto dos. El valor de la pérdida
de carga hL siempre es positivo, así se respeta la pérdida de energía entre el punto uno y el punto
dos:
? hL
?
V22
2g
? Z2 ?
V12
2g
? Z1 ?
p2
?
p1
?
Ec. 2-20
El flujo de fluido real es mucho más complejo que el flujo de fluido ideal. Debido a la viscosidad de
los fluidos reales, en su movimiento aparecen fuerzas cortantes entre las partículas fluidas y las
paredes del contorno y entre las diferentes capas de fluido. Existen dos tipos de flujos permanentes
en el caso de flujos reales, estos son el flujo laminar y el flujo turbulento. En el flujo laminar las
partículas fluidas se mueven según trayectorias paralelas formando el conjunto de ellas capas o
láminas. Los módulos de las velocidades de capas adyacentes no tienen el mismo valor. El flujo
laminar está gobernado por la ley de los fluidos Newtonianos que relaciona la tensión cortante con
la velocidad de deformación angular, es decir, la tensión cortante es igual al producto de la
viscosidad del fluido por el gradiente de velocidades.
dV
dy
? ? ?
Ec. 2-21
El número de Reynolds (Re), que es un grupo adimensional, viene dado por el cociente de las
fuerzas inerciales sobre las fuerzas viscosas, que permite la distinción entre un flujo laminar y un
flujo turbulento. Para el flujo laminar la viscosidad del fluido es la magnitud física predominante y su
acción amortigua cualquier tendencia a la turbulencia. Para el flujo turbulento predominan las
fuerzas inerciales sobre la viscosidad.
Tabla 2-3 Propiedades del agua.
Temperatura (°C) Densidad
3
3
2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
999.9
999.7
998.2
995.7
992.2
988.1
983.2
977.8
971.8
965.3
958.4
9809
9807
9792
9768
9733
9693
9645
9592
9533
9470
9402
1.792
1.308
1.007
0.804
0.661
0.556
0.477
0.415
0.367
0.328
0.296
* Viscosidad cinemática = valor de la tabla * 10
-6
Tabla 2-4 Propiedades del aire a presión atmosférica.
Temperatura
(°C)
Densidad
3
cinemática*
Viscosidad
2 6
-30
-20
1.452
1.394
1.08* 10
1.16* 10
-6
-6
-10
0
10
20
30
40
50
60
80
100
200
1.342
1.292
1.247
1.204
1.164
1.127
1.092
1.060
1.000
0.946
0.746
1.24* 10
1.33* 10
1.42* 10
1.51* 10
1.60* 10
1.69* 10
1.79* 10
1.89* 10
2.09* 10
2.30* 10
3.45* 10
-6
-6
-6
-6
-6
-6
-6
-6
-6
-6
-6
Para tuberías circulares en flujo a tubería llena, el número de Reynolds será
Re ? ? Ec. 2-22
donde V es la velocidad (en m/s), D es el diámetro de la tubería (en m), ? es la densidad del fluido
3 2 2
Tabla 2-5 Viscosidades y densidades relativas de diversas sustancias.
* Viscosidad cinemática = valor de la tabla * 10
-6
Para la viscosidad dinámica se utiliza comúnmente la unidad llamada Poisse (1P= 0.1 Pa?s). Para
-4 2
Tabla 3.3 muestra las viscosidades cinemáticas para agua. La Tabla 3.4 muestra las viscosidades
cinemáticas para el aire. La Tabla 3.5 presenta la viscosidad y la densidad relativa para diversas
sustancias.
La velocidad crítica es aquella velocidad por debajo de la cual toda turbulencia es amortiguada por
la viscosidad. La experiencia demuestra que un límite superior para el régimen laminar, en tuberías
viene fijado por un valor del número de Reynolds alrededor de 2000.
La región que se conoce como la zona crítica aparece entre los números de Reynolds de 2000 y
4000. En esta región, el flujo puede ser tanto laminar como turbulento, dependiendo de varios
factores; éstos incluyen cambios de sección, de dirección del flujo y obstrucciones tales como
válvulas corriente arriba de la zona considerada. El factor de fricción en esta región es
indeterminado y tiene límites más bajos si el flujo es laminar y más altos si el flujo es turbulento.
Cuando Re es alto, mayor que 4000, significa que dominan las fuerzas inerciales. En el flujo
turbulento las partículas fluidas se mueven en forma desordenada en todas direcciones. Es
imposible conocer la trayectoria de una partícula individualmente. Para flujo turbulento, las
condiciones vuelven a ser más estables y puede establecerse factores de rozamiento definitivos.
Esto es importante ya que permite al ingeniero determinar las características del flujo de cualquier
fluido que se mueva por una tubería, suponiendo conocidas la viscosidad y la densidad en las
condiciones del flujo.
Ejemplo 8:
Se utiliza una tubería de 2 cm de diámetro para transportar agua a 20°C. Calcule la velocidad
media máxima que puede desarrollar el agua para que el flujo sea laminar.
Solución:
-6 2
?
2000*1.007*10?6
0.02
Re*?
D
V ?
? 0.101 m/s
2.8Factor de fricción
La pérdida de carga hf causada por el esfuerzo cortante en la pared para un flujo desarrollado se
calcula mediante la ecuación de Darcy –Weisbach:
L V 2
D 2g
hf ? f
Ec. 2-23
donde f es el coeficiente de fricción que depende tanto de las propiedades del fluido y del flujo
como de la rugosidad de la tubería. En general
)
e
D
f ? f (Re,
Ec. 2-24
donde e/D es la aspereza relativa. La rugosidad de una tubería, depende del material de la pared,
la cual vista al microscopio sería como se muestra en la Figura 3.12. El perfil de velocidad
promediado temporalmente para una tubería es muy sensible a la magnitud de la altura media de
los elementos de aspereza de la pared.
Todos los materiales son ásperos si se les examina con la suficiente amplificación, aunque
podemos suponer que el vidrio y el plástico son lisos con e = 0.
e
Figura 2.12 Aspereza de un material en una tubería.
Se han obtenido datos experimentales que relacionan el factor de fricción con el número de
Reynolds en flujos plenamente desarrollados en una amplia gama de asperezas de pared,
incluyendo paredes lisas. Estos datos están almacenados en el Diagrama de Moody, Figura 3.13.
El diagrama de Moody tiene varias características: Para flujo laminar en todas las tuberías y para
64
Re
cualquier fluido el factor de fricción es sólo función del número de Reynolds, así f ?
Figura 2.13 Diagrama de Moody.
? e
?3.7D
?
?
Para una aspereza de pared dada, medida por la aspereza relativa e/D, hay una valor de Re por
encima del cual el factor de fricción es constante, y esto define el régimen completamente
turbulento. La resistencia al flujo se debe primordialmente al arrastre de los elementos de aspereza
que penetran el flujo.
Con valores de aspereza relativa e/D más pequeños se observa que, al disminuir Re, el factor de
fricción aumenta en la zona de transición y finalmente adquiere el mismo valor que para una
tubería lisa. Los elementos de aspereza quedan sumergidos en la capa viscosa de pared y casi no
afectan el flujo principal.
Con Re< 2000, se muestra el factor de fricción del flujo laminar. La zona crítica acopla el flujo
turbulento con el laminar y podría representar un flujo oscilante que existe de forma alternada como
turbulento y como laminar.
Los valores de e en el diagrama corresponden a tuberías nuevas. Con el tiempo las tuberías se
corroen y ensucian, lo que altera tanto el diámetro como la aspereza y hace que aumente el factor
de fricción.
Las ecuaciones empíricas siguientes representan el Diagrama de Moody para Re>4000
Flujo en tubería lisa:
? 0.86lnRe f ?0.8
1
f
Ec. 2-25
Zona completamente turbulenta:
Zona de transición:
?
?
?
2.51
Re f
e
? ?0.86ln
3.7D
? ?0.86ln?
?
1
f
1
f
Ec. 2-26
Ec. 2-27
La ecuación de zona de transición se llama ecuación de Colebrook. Si e=0 en la ecuación de
Colebrook se obtiene la ecuación de flujo en tubería lisa. Si Re=? se obtiene la ecuación de zona
completamente turbulenta.
Se puede obtener una buena aproximación a la pérdida de carga en ductos con sección transversal
no circular utilizando el radio hidráulico R, que se define como
A
P
R ?
Ec. 2-28
donde A es el área de la sección transversal y P es el perímetro mojado; así el número de
Reynolds, la aspereza relativa y la pérdida de carga serán
V( 4R)
?
Re ?
, aspereza relativa =
e
4R
L V 2
4R 2g
, hf ? f
Ec. 2-29
flujo turbulento desarrollado en una tubería
Podemos identificar tres categorías de problemas para
de longitud L:
Categoría
1
2
3
Datos
Q, D, e, ?
D, e, ?, hf
Q, e, ?, hf
Incógnita
hf
Q
D
Q2L ? ? ? e
??D? ?? ?
Q ? ? ??
? 4.62? ? ??
??
para 10 < e/D< 10
? gD5hf ?
Q ? ?0.965? ?
?
?
? e
?
?3.17? 2L? ?
? gD3h ? ?
?
1.25? LQ
?
? gh ?
??Q9.4?
? gh
?
?
?
para 10 < e/D< 10
D
Un problema de categoría 1 es directo y no requiere un procedimiento de iteración cuando se
utiliza el Diagrama de Moody. Los problemas de categoría 2 y 3 requieren un procedimiento de
iteración, ensayo y error, al utilizar el Diagrama de Moody. Los problemas tipo uno no son
importantes, porque generalmente se quiere conocer el diámetro o el caudal en una tubería. Una
alternativa al uso del Diagrama de Moody, que evita los procedimientos de ensayo y error, es
utilizar fórmulas deducidas empíricamente. Swamee y Jain en 1976 presentaron unas fórmulas
para flujos en tuberías, las cuales evitan el método iterativo, estas son:
0.9
?2
? ?
?
?ln?
gD5 ? ?3.7D
hf ?1.07
-6
-2
y 3000< Re< 3*10
8
0.5
0.5
ln?
?3.7D
? L ?
?? ? ? para Re> 2000
? f ? ?
0.04
5.2
4.75
?
?
?
?
?
f
? 2 ?
? f ?
? L
?
?
D ? 0.66?e
?
-6
-2
y 5000< Re< 3*10
8
Se pueden utilizar tanto unidades SI como inglesas en estas ecuaciones. Las diferencias entre los
resultados reportados por las ecuaciones de Swamee-Jain y el Diagrama de Moody son de menos
del 2%.
Ejemplo 9:
Determine la caída de presión en un tramo de 800 m de una tubería de hierro forjado de 1 ½
3
Solución:
Velocidad media:
m
s
0.003
(4.089/100)
4
2
? 2.2845
?
?
?
?
Q
2
4
Q
A
V ?
Número de Reynolds:
? 92765
?
Re ?
2.2845 * 0.04089
1.007*10?6
VD
?
Aspereza relativa:
0.046
40.89
? 0.001125
?
e
D
donde el valor de e corresponde a una tubería de hierro forjado.
Hay dos opciones para determinar el factor de fricción, ellos son el diagrama de Moody y la
ecuación de Colebrook. La ecuación permite el cálculo de más cifras significativas, pero
generalmente el diagrama permite una determinación más rápida.
4
f ? 0.023
El factor de fricción calculado mediante la ecuación de Colebrook, por un procedimiento iterativo
con cuatro cifras significativas será:
? ? 0.046
?1.007*10?6 *0.04089? ?? ?
? ? ???
?
? 0.046 ?3.17*(10?5)2 *300? ?
?9.8*0.15 *79.4?
Q ? ?0.965? ? ln? ?? ? ? ? 0.03762
? ?3.7*100 ? 9.8*0.1 *79.4 ? ? ?
?
?
300
Tabla 2-6 Resultados del factor de fricción (ejemplo 9) usando la ecuación de Colebrook.
f supuesto
1
f
supuesto
1
f
calculado
Error
0.02100
0.02200
0.02300
0.02310
0.02317
0.02318
0.02319
0.02320
6.90065559
6.74199862
6.59380473
6.57951695
6.56957058
6.56815335
6.56673704
6.56532164
6.55281616
6.560372
6.56749003
6.56817942
6.56865966
6.56872811
6.56879653
6.5688649
0.34783944
0.18162662
0.02631471
0.01133753
0.00091092
-0.00057476
-0.00205948
-0.00354325
Así,
*
500
0.04089
2.28452
2*9.8
? 75.4752m
? 0.02318*
L V 2
D 2g
hf ? f
La pérdida de carga también se puede calcular utilizando la ecuación de Swamee-Jain, con la cual
se obtiene:
0.003
0.9
0.0032 *500
9.8*0.040895
? 74.3310m
?ln?
?? ?3.7*40.89
?
? 4.62? ? ??
?2
hf ?1.07*
Se observa una diferencia entre el valor calculado por la ecuación de Swamee-Jain y el valor
obtenido con la ecuación de Colebrook del 1.52 %
Finalmente, la caída de presión será
?P ??hf ? 9792*75.4752/1000 ? 739kPa
Ejemplo 10:
Se mide una caída de presión de 700 kPa en un tramo de 300 m de una tubería horizontal de
-5 2
flujo volumétrico.
Solución:
La pérdida de carga será
? ? 79.4m
? 0.9*9800
Utilizando la ecuación de Swamee-Jain, la solución directa será
3
0.5 0.5
m3
s
Utilizando el diagrama de Moody, la solución requiere un procedimiento iterativo, como en el
siguiente algoritmo:
Paso 1
Suponer flujo completamente turbulento (Re=?) para leer f.
5.61*10
4.75*10
D
?
?
2gDhf
fL
V ?
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Paso 5
Calcular velocidad con la ecuación de Darcy-Weisbach,
VD
Calcular el número de Reynolds, Re ?
?
Volver a leer f con Re, y e/D.
Comparar f del paso 4 con f del paso 1.
(Si son iguales finalizar la iteración. Si son diferentes volver al paso 2, utilizando el f obtenido en el
paso 4.)
Los resultados del procedimiento iterativo se presentan a continuación:
Tabla 2-7 Resultados de la iteración (ejemplo 10) usando el diagrama de Moody
Re
f viejo
0.0165
0.023
V (m/s)
5.61
4.75
4
4
f nuevo
0.023
0.023
En los pasos 1 y 4 se puede reemplazar la lectura del factor de fricción, por el cálculo de éste,
usando la ecuación de Colebrook. Los resultados se presentan a continuación.
Tabla 2-8 Resultados de la iteración para el ejemplo 10 usando la ecuación de Colebrook.
f viejo
0.01672
0.0224
0.023
0.0231
V (m/s)
5.569
4.811
4.748
4.738
Re
55689
48112
47481
47378
f nuevo
0.0224
0.023
0.0231
0.0231
El caudal será
m
s
0.12
4
? 0.0372
? 4.74*?
D2
4
Q ?V *?
El valor obtenido con la ecuación de Swamee-Jain difiere de este en un 1.1 %.
Ejemplo 11:
3
20°C una distancia de 400 m sin que la pérdida de carga exceda 30 m.
Solución:
La velocidad será:
0.002546
D2
Q
A
?
?
V ?
0.002
2
?
4
Ec. 2-30
La ecuación de Darcy-Weisbach será:
2
?0.002546?
400 ? D2 ?
D 2*9.8
30 ? f
que conduce a
f ? 226692.4761*D5
Ec. 2-31
1.007*10
El número de Reynolds será:
2529
D
0.002546
D2
?
?
Re ?
*D
?6
VD
?
Ec. 2-32
Como todas las variables dependen del diámetro, se puede pensar en resolver el problema
iterando en D. Sin embargo, es más funcional iterar en el factor de fricción. El algoritmo será:
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Paso 5
Suponer f = 0.02 porque “es el mejor valor inicial” en todos los casos.
Calcular D con la ecuación 3.31.
Calcular Re con la ecuación 3.32
Calcular e/D.
Leer f con Re calculado en el paso 3 y e/D calculado en el paso 4.
(o calcular f usando la ecuación de Colebrook.
Paso 6 Comparar f leído en el paso 5 con f supuesto en el paso 1.
(Si son iguales finalizar la iteración. Si son diferentes volver al paso 2 utilizando el f obtenido en el
paso 5.)
Los resultados de la iteración usando la ecuación de Colebrook se muestran a continuación.
Tabla 2-9 Resultados de la iteración para el ejemplo 11.
f viejo
D (m)
Re
e/D
f nuevo
0.02
0.03883 65132 0.0000386
3
0.0236
0.0236 0.04013 63011 0.0000373
8
0.0235 0.04010 63064 0.0000374
1
0.0235
0.0235
Ejemplo 12:
Se quiere transportar aire a 30°C y presión atmosférica por un ducto rectangular liso y horizontal de
3
presión.
Solución:
Como se trata de un ducto que no es cilíndrico, se debe utilizar el radio hidráulico en los cálculos.
? 0.06m
0.3*0.2
0.3*2?0.2*2
?
A
P
R ?
m
s
0.24
0.3*0.2
? 4
?
Q
A
V ?
? 60000
?
Re ?
4 * 0.06 * 4
1.6*10?5
4RV
?
Utilizando un ducto liso tenemos un factor de fricción calculado usando la ecuación de Colebrook
de f ? 0.0205
Así,
100 42
*
4*0.06 2*9.8
? 6.9728m
? 0.0205*
L V 2
4R 2g
hf ? f
La caída de presión será
?p ? ?*g*hf ?1.164*9.8*6.9728 ? 79.54Pa
2.9 Presencia de accesorios en las tuberías
Las pérdidas, no consideradas hasta ahora, se agrupan con el nombre de pérdidas menores. Se
producen, en general como resultado de una variación significativa de la configuración del flujo. Por
tanto, tienen lugar en las contracciones o ensanchamientos (sean bruscos o graduales) de los
conductos, en válvulas, accesorios, codos, tes, etc., y en las entradas o en las salidas. En algunos
casos, estas pérdidas menores pueden ser muy importantes. Las pérdidas en las entradas se
producen cuando los líquidos entran a un conducto desde un depósito o recipiente de grandes
dimensiones. La magnitud de las pérdidas depende de la forma de la entrada. Si la forma es
redondeada la pérdida puede ser muy pequeña.
Las pérdidas en las salidas tienen lugar en las secciones por donde desaguan los fluidos en
grandes depósitos o recipientes. Las pérdidas en contracciones bruscas ocurren cuando los ductos
sufren un estrechamiento abrupto de su sección recta, y las pérdidas en ensanchamientos bruscos
suceden cuando esta discontinuidad se da al pasar de una sección a otra sección mayor.
Análogamente las pérdidas en ensanchamientos graduales y las pérdidas en contracciones
graduales tienen lugar cuando la transición de una sección a otras se hace de forma suave. En
muchos casos las pérdidas por accesorios pueden despreciarse, sin embargo, hay casos en los
que no deben despreciarse. Las pérdidas menores se expresan en términos de un coeficiente de
pérdida K. Como es de esperarse, las pérdidas dependen de la velocidad del flujo y de la
geometría del accesorio. Estas se obtienen mediante
V 2
2g
hK ? K
Ec. 2-33
Los valores de K dependen del tipo de accesorio, sus valores se han determinado
experimentalmente. Los valores de K para diversos accesorios se muestran a continuación. Es
común expresar un coeficiente de pérdida como una longitud equivalente Le de tubería, lo que se
hace igualando la ecuación de Darcy-Weisbach con la ecuación anterior
K
Le V 2
D 2g
V 2
2g
? f
Ec. 2-34
para obtener la relación
D
f
Le ? K
Ec. 2-35
Tabla 2-10 Valores de K para diversos accesorios.
Accesorio
Roscado
Bridado
Válvula de globo (Abierta 100 %)
Válvula de globo (Abierta 50 %)
Válvula de globo (Abierta 25 %)
Válvula de ángulo (Abierta)
Válvula de retención disco oscilante (Abierta)
Válvula de compuerta (Abierta)
Curva de retorno
Te (ramificación)
Te (línea)
Codo estándar
Codo de extensión larga
1 in
8.2
20
57
4.7
2.9
0.24
1.5
1.8
0.9
1.5
0.72
2 in
6.9
17
48
2
2.1
0.16
0.95
1.4
0.9
0.95
0.41
4 in
5.7
14
40
1
2
0.11
0.64
1.1
0.9
0.64
0.23
2 in
8.5
21
60
2.4
2
0.35
0.35
0.80
0.19
0.39
0.30
4 in
6
15
42
2
2
0.16
0.30
0.64
0.14
0.30
0.19
8 in
5.8
14
41
2
2
0.07
0.25
0.58
0.10
0.26
0.15
Codo de 45°
0.32
0.30
0.29
?
A ?
K ? ? ?1? 1 ? ?
Expansión angular
Admisión de tubería entrante
K = 0.8
Admisión de tubería con borde cuadrado
K = 0.5
Admisión de tubería bien redondeada
K = 0.03
Contracción repentina
2:1 K = 0.25
5:1 K = 0.41
10:1 K = 0.46
Con base en velocidad
de salida
Placa de orificio
Relación de áreas A/A0
1.5:1 K = 0.85
2:1 K =3.4
4:1
K = 29
30°
70°
K = 0.02
K = 0.07
Salida de tubería
K =1.0
Ensanchamiento repentino
2
? A2 ?
Con base en la velocidad
de entrada
Contracción angular
Z1 ? Z2 ? ? f
?V
0.1
1.007*10
Figura 2.14
Solución:
La ecuación de energía entre los puntos 1 y 2 será
Z1 ? Z2 ?hL
Tomando las pérdidas por fricción y por cada accesorio se tiene
L
D
?
?
2
? Kentrada? Kválvula ? 2Kcodo ? Ksalida?
?2g
La velocidad, el número de Reynolds y la aspereza relativa serán
m
s
? 5.09
0.04
2
?
4
V ?
? 5.09*105
Re ?
5.09*0.1
?6
0.046
100
? 0.00046
?
e
D
20 m
10 m
Ejemplo 13:
3
que el diámetro de la tubería de hierro forjado es 10 cm. ¿Cuál es la diferencia de alturas entre
ambos tanques?
1
Codos estándar, válvula de globo
roscada totalmente abierta
20 m
2
Z1 ? Z2 ? ?0.5?5.7? 2*0.64?1?0.0173
?
WB ?
WT ? mgHT?T ? Q?HT?T
Q (m /s)
Con la lectura a partir del diagrama de Moody, f ? 0.0173
Utilizando los coeficientes de pérdida tabulados anteriormente para elementos roscados de 4 in (?
10 cm) se obtiene
? 22.6m
50 ? 5.092
0.1?2*9.8
?
?
2.10 Bombas y Turbinas
Un volumen de control puede recibir o producir energía. Cuando un volumen de control recibe
potencia a partir de una bomba, dicha potencia debe aparecer en el término de la entrada al
volumen de control, es decir, en el lado izquierdo de la ecuación de energía. De igual manera, si un
volumen de control realiza trabajo representado mediante una turbina, la energía en la entrada al
volumen de control es igual a la energía de salida, en la cual se deberá considerar el efecto de la
turbina, Teniendo en cuenta el trabajo recibido y producido por una tubería, la ecuación de energía
será:
? hL
? HT ?
HB ?
V22
2g
? Z2 ?
V12
2g
? Z1 ?
p2
?
p1
?
Ec. 2-36
donde HB y HT representan la carga o cabeza de la bomba y la carga de la turbina
respectivamente.
La potencia requerida por una bomba será:
Q?H B
?B
?
.
m gH B
?B
.
Ec. 2-37
donde ?B representa la eficiencia de la bomba. Observe que el trabajo ideal, sin irreversibilidades y
sin fricción, es igual al valor del numerador. De forma similar, la potencia generada por una turbina
con eficiencia ?T será
. .
Ec. 2-38
En los problemas que hemos considerado hasta ahora no han intervenido bombas ni turbinas. Si
se incluye una bomba centrífuga en el sistema de tubería y se especifica el caudal, la solución es
directa. Por otro lado, si no se especifica el caudal, como suele suceder en la práctica, se requiere
una solución de ensayo y error considerando la bomba, ya que la cabeza producida por la bomba y
su eficiencia dependen del caudal que fluya por ella. Todas las bombas tienen curvas
características que representan su cabeza y su eficiencia como función del caudal. Las compañías
proporcionan tales curvas características para cada bomba que fabrican. El procedimiento de
solución consiste en resolver simultáneamente la curva característica de la bomba y la curva de
demanda del sistema (ecuación de energía). Para sistemas con turbinas, la situación se trata de
forma similar.
Ejemplo 14:
Para una bomba de 20 cm de diámetro en las tuberías de succión y descarga, se tiene la curva
característica mostrada en la Tabla 3.11. Dicha bomba opera en el sistema mostrado en la Figura
3.15. Calcular el caudal y la potencia requerida por la bomba.
Tabla 2-11 Curva característica de una bomba.
3
0.05
0.10
0.15
0.20
HB (m)
80.0
78.0
76.0
75.0
Rendimiento (%)
4
40
60
78
? Z1 ? 2 ? 2 ? Z2 ? hL
H B ? 90?60??Kentrada? Ksalida ? f
?
H B ? 30??0.5?1.0? f
?
?
Q (m /s) supuesto
70.0
60.0
83
75
?
H B ?
p V 2
V12
2g
? 2g
p1
?
Como las presiones y las velocidades son cero, la ecuación de energía se reduce a:
L ?V 2
D? 2g
?
?
Insertando los valores conocidos y dejando la expresión en términos del caudal se obtiene:
?
400? Q2
0.2 ? 2*9.8* ? *.0.12
?
?
El valor de la aspereza relativa es
0.046
200
? 0.00023
?
e
D
La ecuación anterior debe resolverse simultáneamente con la curva característica y con el factor de
fricción, utilizando un procedimiento iterativo. Los resultados se muestran a continuación.
Tabla 2-12 Resultados de la iteración para e l ejemplo 14.
Iteración
3
V (m/s)
1
0.10
3.18
2
0.20
6.37
3
0.15
4.77
4
0.16
5.09
5
0.17
5.41
6
0.18
5.73
Re
636620 1273240 954930 1018592 1082254 1145916
F
0.0157 0.0151
0.0153 0.0153
0.0152
0.0152
HB (m) Ec. De Energía
47.01
95.55
67.34
72.48
77.66
83.43
HB (m) Curva Característica 78.00
75.00
76.00
75.80
75.60
75.40
Los resultados de la ecuación de energía se comparan con los valores de la curva característica.
Los valores de caudal que no se encuentran en la curva característica se calculan mediante
B
0.25
0.30
Altura 90 m
Altura 60 m
Tubería hierro forjado de
20 cm de diámetro
400 m
Figura 2.15
Solución:
La ecuación de energía aplicada entre las dos superficies será:
interpolación lineal. Los valores de factor de fricción se obtuvieron mediante la ecuación de
Colebrook. Observe que el factor de fricción permanece constante y que el valor f*L/D = 30.4, es
dominante sobre la función de la curva de demanda, lo cual implica que se podrían obviar las
constantes de pérdidas por accesorios, ya que L es bastante grande comparada con D, en general
si L/D es mayor que 1000 se pueden obviar las pérdidas en accesorios.
La potencia requerida por la bomba será
.
0.17 * 9.800 * 77.6
0.67
?192kW
?
WB ?
Q?HB
?B
2.11 Ejercicios
1. ¿Qué profundidad se requiere en un líquido para producir una presión total de 350 kPa, si el
peso específico relativo es:
a. 0.8, b. 13.6, c. 0.68 ?
Agua
Aceite
S=
0.86
30 cm
40 cm
35
cm
2. Determine la presión en el fondo de un tanque abierto que contiene capas de 20 cm de
mercurio (S = 13.6), 3 m de agua y 4 m de aceite (S = 0.8).
3. Para el tanque que se muestra en la Figura, si H = 16 cm, ¿Qué lectura marcará el manómetro?
Aire
H
4m
Agua
Mercurio
4. Determine la diferencia de presión entre la tubería de agua y la tubería de aceite que se
muestran en la Figura.
S = 0.68
Mercurio
S = 13.6
5
cm
5. En la Figura se muestra un tubo de vidrio en U abierto a la atmósfera por los dos extremos. Si el
tubo contiene aceite y agua, tal como se muestra, determine la densidad relativa del aceite.
35 cm
Aceite
B
A
Agua
30 cm
Agua
6. Los compartimentos de la Figura están cerrados y llenos de aire. ¿Cuál es el valor de x? El
fluido manométrico es mercurio, S = 13.6.
Tanque 2, aire
Tanque 1, aire
206.8 kPa
254 mm
x
7. La temperatura en la atmósfera se puede determinar mediante T(z)= 288 – 0.0065Z, donde T se
expresa en K y Z en m. Calcule la presión a altitudes de 300 m, 3000 m, 11325 m.
8. Un grupo de exploradores desea conocer su altitud. Uno de los exploradores que es ingeniero,
hirvió agua y midió una temperatura de ebullición de 82 °C. ¿Qué altitud habrá dicho el ingeniero?
9. Se emplea un tubo de Pitot para medir la velocidad de un avión pequeño que viaja a una altura
de 1000 m. Calcule su velocidad si el tubo de Pitot marca: a. 2 kPa. b. 6 kPa. ¿Qué presión
aproximadamente deberá marcar un Tubo de Pitot en un Fórmula uno que corre en Río de
Janeiro?
10.La bomba que se muestra en la Figura crea un flujo tal que V = 14 m/s. Prediga la presión en el
manómetro suponiendo un flujo no viscoso en la entrada y un flujo uniforme en el manómetro.
Utilice una línea de corriente que parte del punto A y del punto B.
B
4
m
p1
11.El agua a 32°C que sale de un grifo de 1.5 cm de diámetro tiene una velocidad media de 2 m/s.
¿Esperaría usted que este flujo fuera laminar?
12.Fluye agua por una tubería de 6 cm de diámetro a 20 m/s. Si la tubería se ensancha hasta un
diámetro de 12 cm, calcule la reducción en la velocidad. Calcule el flujo másico y el caudal.
13.Una tubería transporta 200 kg/s de agua. La tubería se divide en un ramal de 5 cm de diámetro
y uno de 7 cm de diámetro. Si la velocidad media en la tubería de diámetro más pequeño es de 25
m/s, calcule el caudal en la tubería más grande.
14.Aire a 20 °C y 200 kPa absoluta fluye en una tubería de 10 cm de diámetro con un flujo másico
de 2 kg/s. La tubería sufre una conversión a un ducto rectangular de 5 cm por 7 cm en el que T =
80°C y p = 50 kPa absoluta. Calcule la velocidad en cada sección.
15.El río Cedar fluye plácidamente a través del campus de la Universidad Estatal de Michigan. En
cierta sección la profundidad es de 0.8 m y la velocidad media es de 0.2 m/s. ¿Qué tipo de flujo se
presenta?
16.Un medidor vénturi (el cual consta de una porción convergente seguida por una garganta de
diámetro constante y luego por una porción gradualmente divergente) se utiliza para medir el
caudal en una tubería. El diámetro en la sección ancha es 12 cm, y en la sección angosta es 6 cm.
Determine el caudal cuando fluye aceite de densidad relativa 0.9 y la caída de presión es 20 kPa.
17.Una tubería mueve aceite con una densidad relativa de 0.86, a una velocidad de 2 m/s a través
de una tubería de diámetro interno de 200 mm. Esta tubería empalma con otra tubería mediante un
reductor, así el diámetro se reduce a 70 mm. ¿Cuál es la velocidad del flujo en la tubería más
delgada? ¿Cuál es la tasa de flujo en kg/s?
18.Hay una caída de presión de 400 Pa en un tramo de tubería de 2 cm de diámetro que transporta
agua a 20 °C. Determine la longitud del tramo horizontal y el factor de fricción si Re = 1600.
19.Agua a 20°C fluye por una tubería de hierro colado de 4 cm de diámetro. Determine el factor de
fricción si la velocidad media es: a. 0.025 m/s, b. 0.25 m/s, c. 2.5 m/s, d. 25 m/s. Determine el factor
de fricción si el fluido es tetracloruro de carbono a 40 °C.
3
Calcule la caída de presión en un tramo horizontal de 100 m si la tubería transporta: a. Agua a
60°C. b. Fuel-oil pesado a 40°C. c. Glicerina a 20°C. d. Agua a 10°C
21.No debe excederse una caída de presión de 200 kPa en un tramo de 200 m de tubería de
concreto horizontal de 1.2 m de diámetro que transporta agua a 20°C. ¿Qué caudal puede haber?
Utilice el diagrama de Moody y las ecuaciones de Swamee y Jain.
22.Se mide una caída de presión de 200 kPa en un tramo de 1000 m de una tubería horizontal de
hierro forjado de 8 cm de diámetro que transporta fuel oil pesado. Determine el caudal.
23.Determine el diámetro de tubería de hierro galvanizado que debe escogerse para transportar
3
3
D = 6 cm
D = 6 cm
D = 2 cm
D = 2 cm ? = 40°
p1
B
D = 2 cm
Hierro forjado
D = 4 cm
25.Se desea bombear agua a 20°C a través de 300 m de tubería de hierro colado desde un
depósito hasta un dispositivo que está situado 10 m arriba de la superficie del depósito. El agua
debe entrar en el dispositivo a 200 kPa. Los componentes atornillados incluyen 2 codos, una
3
potencia debe tener la bomba (suponga una eficiencia del 80%) si el diámetro de tubería es de:
a. 4 cm b. 14 cm
3
40) de la Figura. Calcule el coeficiente de pérdida de la válvula, desprecie las pérdidas por fricción.
2m
Agua a
20°C
2m
27.¿Qué potencia de bomba (eficiencia 70 %) se necesita en el sistema de tubería que se muestra
en la Figura? Calcule la distancia máxima que puede haber entre el depósito y la bomba.
20 m
B
700 kPa
500 m
28.Calcule el caudal para la tubería mostrada en la Figura (Diámetro de tubería: 6 cm, material:
hierro forjado e = 0.046 mm), calcule la presión en la entrada a la bomba y determine la potencia
de la bomba suponiendo una eficiencia del 100% y despreciando las pérdidas en los accesorios. El
manómetro en la salida de la bomba marca 2308,7 kPa
10 m
200 m
2m
8m
5m
Tanque 2
Tanque 1
T
60 m
1000 m de tubería de concreto
D = 1.2 m
29.Calcule la potencia generada con la turbina que se muestra en la Figura. Suponga que la
eficiencia de a turbina es del 90%. La curva característica de la turbina es
.
Agua a
20 °C
Agua a
20 °C
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